1 - Hệ phương thơm trình đường tính tổng quát

Hệ phương trình đường tính tổng thể có dạng $left{ egingathered a_11x_1 + a_12x_2 + ... + a_1nx_1 = b_1 hfill \ a_12x_1 + a_22x_2 + ... + a_2nx_n = b_2 hfill \ ... hfill \ a_m1x_1 + a_m2x_2 + ... + a_mnx_n = b_m hfill \ endgathered ight..$

Với

Ta điện thoại tư vấn là hệ phương trình con đường tính tất cả $m$ phương thơm trình và $n$ ẩn.

Hệ pmùi hương trình vẫn mang lại có thể được viết bên dưới dạng ma trận $AX=B.$

Đặt $A_j^c = left( eginarray*20c a_1j \ a_2j \ ... \ a_mj endarray ight),j = 1,2,...,n$là véctơ cột sản phẩm j của ma trận thông số A.


Bạn đang xem:
Cách giải và biện luận hệ phương trình tuyến tính


Xem thêm: Cách Tắt Nguồn Iphone 4 Không Cần Nút Nguồn, 5 Cách Tắt Nguồn Iphone Không Phải Ai Cũng Biết

lúc kia hệ pmùi hương trình

Hệ pmùi hương trình đang đến hoàn toàn có thể được viết bên dưới dạng véctơ $x_1A_1^c+x_2A_2^c+...+x_nA_n^c=B.$ Vậy hệ gồm nghiệm lúc và chỉ khi véctơ $B$ màn trình diễn con đường tính qua hệ véctơ cột $left A_1^c,A_2^c,...,A_n^c ight$ của ma trận $A.$ Hệ có bao nhiêu nghiệm thì tất cả bấy nhiêu biện pháp màn biểu diễn tuyến tính véctơ $B$ qua hệ véctơ cột của ma trận $A.$

Do đông đảo định thức bé của $A$ phần lớn là định thức nhỏ của $overlineA$ do đó $0le r(A)le r(overlineA)le min left m,n+1 ight.$

2 - Điều khiếu nại đề xuất và đầy đủ nhằm hệ phương tuyến tính tất cả nghiệm

Định lí Kronecker – Capelli

Cho hệ pmùi hương trình đường tính $n$ ẩn $AX=B.$ Điều kiện phải với đầy đủ nhằm hệ pmùi hương trình tuyến tính bao gồm nghiệm là $r(A)=r(overlineA).$

Chứng minh.

Ta có $r(A)=rleft A_1^c,A_2^c,...,A_n^c ight,r(overlineA)=rleft A_1^c,A_2^c,...,A_n^c,B ight.$

Điều kiện cần: Nếu hệ bao gồm nghiệm thì véctơ B được màn trình diễn con đường tính qua hệ véctơ $left A_1^c,A_2^c,...,A_n^c ight.$

Do kia

Điều kiện đủ: Nếu $r(A)=r(overlineA)Rightarrow rleft A_1^c,A_2^c,...,A_n^c ight=rleft A_1^c,A_2^c,...,A_n^c,B ight.$

Ta bao gồm điều đề xuất minh chứng.

3 - Khảo gần cạnh tổng thể hệ phương thơm trình tuyến đường tính

Cho hệ phương thơm trình con đường tính tất cả $n$ ẩn, những ma trận thông số cùng ma trận hệ số mở rộng theo thứ tự là $A,overlineA.$ Lúc đó:

Nếu $r(A)=r(overlineA)=n$ (số ẩn của hệ) thì hệ tất cả nghiệm duy nhất;Nếu $r(A)=r(overlineA)=r

lấy một ví dụ 1: Giải cùng biện luận hệ phương trình $left{ egingathered x_1 + 2x_2 + 3x_4 = 7 hfill \ 2x_1 + 5x_2 + x_3 + 5x_4 = 16 hfill \ 3x_1 + 7x_2 + x_3 + 8x_4 = 23 hfill \ 5x_1 + 12x_2 + 2x_3 + 13x_4 = m hfill \ 6x_1 + 14x_2 + 3x_3 + 16x_4 = 46 hfill \ endgathered ight..$

Biến thay đổi ma trận thông số mở rộng:

$overline A = left( eginarray*20c 1&2&0&3&7 \ 2&5&1&5&16 \ 3&7&1&8&23 \ 5&12&2&13&m \ 6&14&3&16&46 endarray ight)xrightarrowegingathered mathbf - 2mathbfd_mathbf1mathbf + mathbfd_mathbf2 hfill \ mathbf - 3mathbfd_mathbf1mathbf + mathbfd_mathbf3 hfill \ mathbf - 5mathbfd_mathbf1mathbf + mathbfd_mathbf4 hfill \ mathbf - 6mathbfd_mathbf1mathbf + mathbfd_mathbf5 hfill \ endgathered left( eginarray*20c 1&2&0&3&7 \ 0&1&1& - 1&2 \ 0&1&1& - 1&2 \ 0&2&2& - 2&m - 35 \ 0&2&3& - 2&4 endarray ight)xrightarroweginsubarrayl mathbf - mathbfd_mathbf2mathbf + mathbfd_mathbf3 \ mathbf - 2mathbfd_mathbf2mathbf + mathbfd_mathbf4 \ mathbf - 2mathbfd_mathbf2mathbf + mathbfd_mathbf5 endsubarray left( eginarray*20c 1&2&0&3&7 \ 0&1&1& - 1&2 \ 0&0&0&0&0 \ 0&0&0&0&m - 39 \ 0&0&1&0&0 endarray ight).$