1 - Hệ phương thơm trình đường tính tổng quát
Hệ phương trình đường tính tổng thể có dạng $left{ egingathered a_11x_1 + a_12x_2 + ...
Bạn đang xem: Cách giải và biện luận hệ phương trình tuyến tính
+ a_1nx_1 = b_1 hfill \ a_12x_1 + a_22x_2 + ... + a_2nx_n = b_2 hfill \ ... hfill \ a_m1x_1 + a_m2x_2 + ... + a_mnx_n = b_m hfill \ endgathered ight..$Ta điện thoại tư vấn là hệ phương trình con đường tính tất cả $m$ phương thơm trình và $n$ ẩn.
Hệ pmùi hương trình vẫn mang lại có thể được viết bên dưới dạng ma trận $AX=B.$
Đặt $A_j^c = left( eginarray*20c a_1j \ a_2j \ ... \ a_mj endarray
ight),j = 1,2,...,n$là véctơ cột sản phẩm j của ma trận thông số A. Xem thêm: Cách Tắt Nguồn Iphone 4 Không Cần Nút Nguồn, 5 Cách Tắt Nguồn Iphone Không Phải Ai Cũng Biết
Hệ pmùi hương trình đang đến hoàn toàn có thể được viết bên dưới dạng véctơ $x_1A_1^c+x_2A_2^c+...+x_nA_n^c=B.$ Vậy hệ gồm nghiệm lúc và chỉ khi véctơ $B$ màn trình diễn con đường tính qua hệ véctơ cột $left A_1^c,A_2^c,...,A_n^c ight$ của ma trận $A.$ Hệ có bao nhiêu nghiệm thì tất cả bấy nhiêu biện pháp màn biểu diễn tuyến tính véctơ $B$ qua hệ véctơ cột của ma trận $A.$
Do đông đảo định thức bé của $A$ phần lớn là định thức nhỏ của $overlineA$ do đó $0le r(A)le r(overlineA)le min left m,n+1 ight.$
2 - Điều khiếu nại đề xuất và đầy đủ nhằm hệ phương tuyến tính tất cả nghiệm
Định lí Kronecker – Capelli
Cho hệ pmùi hương trình đường tính $n$ ẩn $AX=B.$ Điều kiện phải với đầy đủ nhằm hệ pmùi hương trình tuyến tính bao gồm nghiệm là $r(A)=r(overlineA).$
Chứng minh.
Ta có $r(A)=rleft A_1^c,A_2^c,...,A_n^c ight,r(overlineA)=rleft A_1^c,A_2^c,...,A_n^c,B ight.$
Điều kiện cần: Nếu hệ bao gồm nghiệm thì véctơ B được màn trình diễn con đường tính qua hệ véctơ $left A_1^c,A_2^c,...,A_n^c ight.$
Do kia
Điều kiện đủ: Nếu $r(A)=r(overlineA)Rightarrow rleft A_1^c,A_2^c,...,A_n^c ight=rleft A_1^c,A_2^c,...,A_n^c,B ight.$
Ta bao gồm điều đề xuất minh chứng.
3 - Khảo gần cạnh tổng thể hệ phương thơm trình tuyến đường tính
Cho hệ phương thơm trình con đường tính tất cả $n$ ẩn, những ma trận thông số cùng ma trận hệ số mở rộng theo thứ tự là $A,overlineA.$ Lúc đó:
Nếu $r(A)=r(overlineA)=n$ (số ẩn của hệ) thì hệ tất cả nghiệm duy nhất;Nếu $r(A)=r(overlineA)=rlấy một ví dụ 1: Giải cùng biện luận hệ phương trình $left{ egingathered x_1 + 2x_2 + 3x_4 = 7 hfill \ 2x_1 + 5x_2 + x_3 + 5x_4 = 16 hfill \ 3x_1 + 7x_2 + x_3 + 8x_4 = 23 hfill \ 5x_1 + 12x_2 + 2x_3 + 13x_4 = m hfill \ 6x_1 + 14x_2 + 3x_3 + 16x_4 = 46 hfill \ endgathered ight..$
Biến thay đổi ma trận thông số mở rộng:
$overline A = left( eginarray*20c 1&2&0&3&7 \ 2&5&1&5&16 \ 3&7&1&8&23 \ 5&12&2&13&m \ 6&14&3&16&46 endarray ight)xrightarrowegingathered mathbf - 2mathbfd_mathbf1mathbf + mathbfd_mathbf2 hfill \ mathbf - 3mathbfd_mathbf1mathbf + mathbfd_mathbf3 hfill \ mathbf - 5mathbfd_mathbf1mathbf + mathbfd_mathbf4 hfill \ mathbf - 6mathbfd_mathbf1mathbf + mathbfd_mathbf5 hfill \ endgathered left( eginarray*20c 1&2&0&3&7 \ 0&1&1& - 1&2 \ 0&1&1& - 1&2 \ 0&2&2& - 2&m - 35 \ 0&2&3& - 2&4 endarray ight)xrightarroweginsubarrayl mathbf - mathbfd_mathbf2mathbf + mathbfd_mathbf3 \ mathbf - 2mathbfd_mathbf2mathbf + mathbfd_mathbf4 \ mathbf - 2mathbfd_mathbf2mathbf + mathbfd_mathbf5 endsubarray left( eginarray*20c 1&2&0&3&7 \ 0&1&1& - 1&2 \ 0&0&0&0&0 \ 0&0&0&0&m - 39 \ 0&0&1&0&0 endarray ight).$